Abbiamo una barra di gomma lunga un metro. Su questa barra, al punto zero, c'è un verme immortale. Al tempo zero, il verme comincia a muoversi verso l'altra estremità alla velocità costante di 1 cm/s. Quindi, ogni secondo la barra si allungherà del 10 % in modo uniforme.
Ossia (tempo in secondi, lunghezze in metri): T=0, lunghezza 1, percorso 0. T=1, lunghezza 1,1, percorso 0,011, eccetera
Prima domanda (facilotta) : Riuscirà il verme a raggiungere la fine della barra?
Seconda domanda (difficilotta) : Quanto tempo ci metterà?
Se interessa, questo era una trentina di anni fa su Scientific American. Non bastano somme e sottrazioni!
Poi... la risposta alla prima domanda me la ricordo, la seconda va ricalcolata. Lasciatemi un po' di tempo...
Notevole, ub!
Purtroppo non ho dimestichezza con Excel, perche' penso sarebbe di grande aiuto. Vedro' cosa posso fare a mano.... :roll:
Mmmm, non credo che excel possa farcela... ti puo far vedere un trend...
Se non sono 'scollegato' e se l'esposto è giusto, nel senso che il verme procede nel verso in cui si allunga la barra e questa lo fa, in pari tempo, di una misura che è comunque almeno 10 volte superiore a quella percorsa dal verme, la risposta alla prima domanda è NO :roll:
Infatti ogni secondo che passa si troverà davanti un percorso da fare sempre maggiore di quanto ne aveva prima.
Anche a me un calcolo relativo ai primi 10 secondi indica che il verme, con il passare del tempo, si "allontana" sempre di piu' dal traguardo, quindi pare che la risposta sia no.....
ho come la sensazione che ci sia di mezzo qualche paradosso legato all'infinito...(temporale e spaziale...)
:o :o :o
ergo..chiamate in infinitologo...io mi defilo... :lol:
Citazione di: "ermengarda"ho come la sensazione che ci sia di mezzo qualche paradosso legato all'infinito...(temporale e spaziale...)
:o :o :o
ergo..chiamate in infinitologo...io mi defilo... :lol:
Probabile.. il concetto di infinito è unico, sebbene si usi definire, in matematica, un
meno infinito ed un
più infinito..
In questo caso il verme e la barra tendono ad infinito sullo stesso verso e se proprio dobbiamo dire che si incontrano, visto che non si possono considerare tendenti a DUE diversi infiniti, si incontreranno.. all'infinito :lol:
Aiutino sulla prima domanda :
Ammesso che ci riesca, il verme deve arrivare solo a metà, perchè poi la strada è in discesa, in quanto si allunga più dietro che davanti.
Provate a trovare l'espressione generale della posizione del verme...
mah, io ho ragionato cosi'. All'inizio il verme ha da percorrere 100 cm.
Dopo 1 sec. ne ha da percorrere 108,9
Dopo 2 sec. ne ha da percorrere 118,69
Dopo 3 sec. ne ha da percorrere 129,459
Dopo 4 sec. ne ha da percorrere 141,3049
Dopo 5 sec. ne ha da percorrere 154,29439
La distanza rimanente, come si puo' vedere, aumenta progressivamente al passare dei secondi. Il trend indica che la distanza tra verme e fine del percorso aumenta progressivamente all'aumentare dei secondi, per cui, se la matematica non e' un'opinione, ilverme non raggiungera' mai il traguardo.
Ub, sicuro che il problema non dica che il verme si muove di 10 cm alla volta?
Citazione di: "naacal"mah, io ho ragionato cosi'. All'inizio il verme ha da percorrere 100 cm.
Dopo 1 sec. ne ha da percorrere 108,9
Dopo 2 sec. ne ha da percorrere 118,69
Dopo 3 sec. ne ha da percorrere 129,459
Dopo 4 sec. ne ha da percorrere 141,3049
Dopo 5 sec. ne ha da percorrere 154,29439
Eh, no. si allunga uniformemente davanti e dietro, quindi sara rispettivamente
100
108,9
118,58
129,107
140,5536
eccetera. Piccola differenza. Consiglio : generalizza, se scrivi l'espressione diventa chiaro, almeno la prima parte.
Citazione di: "ub"
Eh, no. si allunga uniformemente davanti e dietro, quindi sara rispettivamente
100
108,9
118,58
129,107
140,5536
eccetera. Piccola differenza. Consiglio : generalizza, se scrivi l'espressione diventa chiaro, almeno la prima parte.
Eh no lo dico io, ub, scusa.. :wink:
Dopo 1 secondo, come tu hai detto all'inizio, la lunghezza della corda e' 1,1 e la distanza percorsa dal verme e' 0,01+(0,01/10)=0,01+0,001=0,011.
Dopo
2 secondi la lunghezza della corda e' 1,1+(1,1/10) = 1,1+0,11 = 1,21
Sempre dopo 2 secondi, il verme percorre un altro centimetro: 0,011+0,01=0,021. Questa distanza, come il resto della corda, si allunga del 10% e diventa pari a: 0,021+(0,021/10) = 0,021+0,0021 = 0,0231
Quindi, dopo 2 secondi, la corda e' lunga 1,21m, il verme si trova a 0,0231m dal punto d'inizio, e la distanza da percorrere e' 1,21-0,0231=
1,1869m, ossia
118,69cm, come avevo scritto io, quindi i calcoli sono giusti.
Anche se il verme avanza di un centimetro per volta, conti alla mano, la sua distanza dal traguardo aumenta, ed
in misura sempre maggiore al passare dei secondi.
Quindi, per me la risposta alla prima domanda e' no.
Ho ricontrollato i miei calcoli, e sono esatti, e mentre li controllavo, ho avuto un'intuizione.
Oggi o domani ti dico dopo quanti secondi il verme arriva alla fine.... :wink:
Citazione di: "chelela"non è specificata la modalità di allungamento della barra: ovvero, "cresce" semplicemente in lunghezza o si "stira" come un elastico?
Si stiracchia dappertutto.
Allego una risposta a naacal :
Questo è vero, scusa, avevo sbagliato il conto. Però se generalizzi :
Lunghezza dietro dopo :
1 secondo : 0,01 * 1,1
2 secondi : (0,01 * 1,1 + 0,01) * 1,1 = 0,01 * 1,1^2 + 0,01 * 1,1
3 secondi : (0,01*1,1^2 + 0,01*1,1 + 0,01)*1,1 = 0,01*1,1^3+0,01*1,1^2+0,01*1,1
eccetera, quindi in genere sarà, dopo n secondi
t=n 1,1^t
D = somma --------
t=1 100
Lunghezza totale, invece L = 1,1^n
Nota che non dico che arriva o che non arriva, ma viene fuori qualcosa di molto curioso...
La notte ha portato consiglio, ub, e la risposta unica e definitiva e' no, il verme non raggiungera' mai la fine della corda.
Ieri m'era sorto un dubbio, perche' avevo calcolato che dopo 60 secondi il verme si trovava ad aver compiuto una distanza pari a circa il 10% dell'intera corda. Ma mi sono reso conto che cio' e' assolutamente ininfluente. Cosi' come e' ininfluente il fatto che prima o poi il verme si trovera' ad aver compiuto piu' del 50% del percorso, perche' la parte rimanente sara' comunque in continua crescita e troppo lunga da percorrere.
Il problema si puo' raffigurare con una retta AB, sulla quale vi e' un punto V che rappresenta la posizione del verme. Quindi, abbiamo due segmenti AV e VB in continua mutazione con il passare dei secondi.Il verme V cosa fa? "Sottrae" 1cm. al segmento VB per "passarlo" al segmento AV, e contemporaneamente i due segmenti si stirano del 10%. Lo scopo del verme e' arrivare nel punto B. Cio' non avverra' mai: chiamando V1 e V2 le due posizioni del verme a distanza di un secondo l'una dall'altra, per far si' che il verme raggiunga prima o poi il punto B, occorre che la distanza V1-V2 sia maggiore dello stiramento del segmento V2B. All'inizio, per esempio, il verme percorre 1 cm. La parte di corda rimanente, quella da percorrere, allo stesso tempo si stira del 10%. Essendo lunga 99cm, si stirera' di ulteriori 9,9 cm. E questa misura crescera' per sempre: dopo 1 minuto e mezzo, per farti un esempio, il verme sara' a 5313 metri di distanza dalla fine della corda. Poco, anzi nulla, importa che la parte di corda gia' percorsa dal verme cresca ad un ritmo maggiore della parte restante: nel secondo successivo, infatti, il verme percorrera' un altro centimetro, ma la distanza da percorrere si stirera' ulteriormente di piu' di mezzo chilometro.
Il verme, invece, raggiungera' prima o poi la fine della corda nel caso in cui si sposti di 10cm al secondo, come avevo ipotizzato all'inizio del thread. Infatti, con un simile spostamento su una corda di 100cm, dopo un secondo la distanza da percorrere sara' diminuita (condizione essenziale per il raggiungimento del traguardo) e sara' pari a 99cm e andra' via via decrescendo finche il verme non raggiungera' la fine della corda.
Confermo, il verme, anche se immortale, non ce la farà mai. Vuoi cercare la curiosità?
Volentieri.... vedo un po' ora cosa trovo, altrimenti ti chiedo lumi in seguito... :D
Io non trovo la curiosità...
Nel sistema di riferimento definito dal verme al tempo 0, e guardando il moto di due punti (la testa del verme e il traguardo), abbiamo un moto rettilineo uniforme ed un moto uniformemente accelerato con valore iniziale non nullo.
Non solo non si incontrano mai, ma nemmeno convergono asintoticamente...
Vedi cosa fa il rapporto tra lunghezza e percorso mancante
Dunque....
L=lunghezza corda
LP=lunghezza percorsa
LR=lunghezza rimanente
n=numero secondi passati
L(n)=1,1^n
LP(n)=[L(n+1)-1,1]/10
LR(n)=L(n)-LP(n)=1,1^n-[L(n+1)-1,1]/10
Il rapporto tra lunghezza e percorso mancante?
L(n)/LR(n)=1,1^n/1,1^n-{[L(n+1)-1,1]/10}=
=1/1-[L(n+1)-1,1]/10(1,1^n)=
=1-10(1,1^n)/[L(n+1)-1,1]=
=L(n+1)-1,1-10(1,1^n)
Aargh! Che sara' mai?
Numericamente parlando, i rapporti lunghezza/distanza rimanente, secondo dopo secondo, sono:
1,010101
1,0194624
1,0281247
1,0361282
1,043513
....
....
1,1231393 (dopo 1 minuto)
1,123569 (dopo 1 minuto e 30 secondi)
Che sara' mai???
sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci :o
e per estensione al rapporto aureo :o :o
Citazione di: "regolo"sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci :o
e per estensione al rapporto aureo :o :o
Ormai appare due volte all'anno e, quando lo fa, straparla! :D
Ciao, Reg. :) Ben avvistato. ;)
ciao...avvistatore :D
ormai non ho più ritegno...intervengo solo per sparare c.... :lol:
Citazione di: "regolo"sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci :o
e per estensione al rapporto aureo :o :o
ne approfitto anch'io per salutarti, ciao reg. :D
(ehm...Fibonacci e il rapporto aureo... :o per un attimo mi sei sembrato il conte Mascetti in "amici miei", mi chiedevo se la supercazzola era prematurata come se fosse antani... :lol: :lol:)
:D :D :D
Grande Sentenza!
Non mi ricordo una cosa: Achille l'ha poi presa la tartaruga?
Provo a dire la mia, sperando di non aver sbagliato i conti...
Sviluppando le solite furmule si ricava che
0.11
Rapporto lunghezza percorsa / Lunghezza totale = 0.11 - ---------
1.1^n
e si vede che per n tendente a infinito il rapporto tende a 0.11
cioè il bruco non percorrerà mai più dell'11% della corda
Diverso sarebbe il caso in cui il bruco vada a 10 cm/s (come suggerito da naacal)
In questo caso infatti la serie converge a 1.1 (che è superiore a 1 ovvero è superiore al 100% della corda e quindi il bruco arriva a destinazione)
Credo che una situazione più interessante si avrebbe se l'allungamento della corda non fosse proporzionale alla lunghezza della corda stessa, ma fosse costante. Per esempio se la corda si allungasse di un metro ogni secondo o anche di un chilometro o anche di un anno luce al secondo, il bruco riuscirebbe comunque ad arrivare al traguardo, anche muovendosi di un solo cm al secondo
Concordo con quanto scritto da Sentenza, ma non su un rapporto tendente a 0,11, in quanto la lunghezza totale aumenta sempre del 10%, ma la lunghezza percorsa, nello stesso tempo, aumenta di un centimetro e del 10%, quindi aumenta in misura sempre maggiore. Pertanto, secondo me, il rapporto lunghezza percorsa/lunghezza totale, col tempo, tende ad 1.
(poi puo' anche essere che mi sbagli, eh....)
Citazione di: "Wiseman"Non mi ricordo una cosa: Achille l'ha poi presa la tartaruga?
Si', alla fine l'ha presa, ed e' stato pure dimostrato....
Scusate... ma perché partite dall'assunto che al primo secondo la lunghezza della barra è 1,1 ?
Questo sarebbe vero se la dilatazione fosse discontinua : cioè la barra dovrebbe "aspettare" lo scadere di ogni secondo per dilatarsi. In realtà non è così, in ogni infinitesimo di secondo la barra dovrebbe dilatarsi di un infinitesimo, e la dilatazione totale allo scadere di ogni secondo è la somma di infiniti termini infinitesimi. E questa dilatazione al tempo t=1 è maggiore del semplice 10% in più di lunghezza rispetto a quella del tempo zero.
In poche parole bisogna ricorrere al calcolo integrale.
Sempreché nel problema non ci sia una semplificazione che nell'enunciato non appare (ma questo ce lo dovrebbe dire ub) dovremmo avere :
dL=0,1*L*dt dove
dL=variazione infinitesima della lunghezza (si legge "de elle")
L=lunghezza della barra al tempo t
dt=variazione infinitesima di tempo
Integrando
DL/L=0,1*dt
Abbiamo ln L=0,1*t cioè
L=e^(0,1*t) dove e è la costante di Nepero (2,71...).
In realtà c'è anche un fattore moltiplicativo L0 ("L con zero" che nel nostro caso vale 1)
Questa è la formula dell'allungamento della barretta in funzione del tempo.
Se fate il calcolo al primo secondo il valore è molto vicino a 1,1 (1,1051...) ma dopo un po' di secondi i valori cominciano ad essere abbastanza distanti da quelli che derivano dalla formula L=1,1^t
Cosa fa il verme ?
In queste condizioni non riesco a vedere comportamenti notevoli se non quello che non raggiungerà mai l'estremità.
A meno che il problema non presupponga intervalli discreti per il tempo, intervalli in cui la barretta "sta ferma" e si dilata solo agli estremi dell'intervallo (con un andamento a scalini). Ma allora bisognerebbe specificare se c'è una pre-elongazione o una post-elongazione.
In parole povere : ad ogni secondo si ha prima la dilatazione e poi il verme si muove, oppure la dilatazione avviene dopo ?
Nel primo caso al primo secondo il verme starebbe a 0,01 dalla partenza (la dilatazione quando il verme sta alla posizione zero non ha alcun effetto su di esso).
Nel secondo caso starebbe a 0,01*1,1.
Le cose non cambierebbero poi molto : anche nell'ipotesi di considerare il tempo discreto, l'altra estremità si muove a una velocità irraggiungibile per il povero verme.
Questo si può vedere anche graficamente, con una curva x=e^(0,1*t) che si trova sempre sopra alla retta x=0,01*t, per qualunque valore di t.
Se poi ho inteso male il problema...ub è pregato di farmelo sapere. :D
La barra si allunga uniformemente in tempi discreti, mentre il verme procede con moto rettilineo uniforme (rispetto ad un riferimento esterno alla barretta).
Comunque, quando dicevo notevole intendevo a priori inaspettato, non particolarmente speciale...
Citazione di: "ub"La barra si allunga uniformemente in tempi discreti, ...
Questa era un'informazione importantissima :wink:
Citazione di: "naacal"Concordo con quanto scritto da Sentenza, ma non su un rapporto tendente a 0,11, in quanto la lunghezza totale aumenta sempre del 10%, ma la lunghezza percorsa, nello stesso tempo, aumenta di un centimetro e del 10%, quindi aumenta in misura sempre maggiore. Pertanto, secondo me, il rapporto lunghezza percorsa/lunghezza totale, col tempo, tende ad 1.
(poi puo' anche essere che mi sbagli, eh....)
Il rapporto lunghezza percorsa/lunghezza totale continua ad aumentare ma tende asintoticamente a 0,11. Infatti, col passare del tempo, gli incrementi di questo rapporto diventano via via sempre più irrisori.
Tu avevi riportato i valori del rapporto lunghezza/distanza rimanente:
1,010101
1,0194624
1,0281247
1,0361282
1,043513
....
....
1,1231393 (dopo 1 minuto)
1,123569 (dopo 1 minuto e 30 secondi) Trasformando questi valori nel rapporto distanza percorsa/lunghezza totale (basta fare 1-1/R con R pari al rapporto che hai calcolato tu) si ottiene:
0,01
0,0190909
0,0273554
0,0348685
0,0416987
...
...
0,1096387 (dopo un minuto)
0,1099793 (dopo un minuto e trenta secondi)Si vede che i valori tendono a 0,11
Inoltre questi sono esattamente i valori che si possono ottenere con la formula che avevo riportato nell'altro post:
0.11
Rapporto lunghezza percorsa / lunghezza totale = 0.11 - ---------
1.1^n da cui si evince che la successione tende a 0,11 (infatti il secondo termine tende a zero perché il denominatore va a infinito per n tendente a infinito)
per inciso, avevo ricavato questa formula partendo da queste due equazioni:
Lunghezza percorsa dopo n secondi = sommatoria(0,01 * 1,1^t) per t che va da 1 a n
(questa formula l'aveva dimostrata ub)Lunghezza totale dopo n secondi = 1,1^n
Confermo Sentenza :D
Confermo. La cosa che mi è piaciuta è che il limite della successione dipende, come è ovvio, dalla velocità del verme. e, come è ovvio, aumenta all'aumentare della velocità.
Esiste poi un valore di velocità per il quale il verme ce la fara - e, in quel caso, ce la fa velocemente.
Volendo, si può filosofeggiare dicendo che non vale la pena andare più veloce di tanto. Che sia un quiz oscurantista?
Non si tratta di velocità pazzesche per il verme, raggiungere l'estremità : in fin dei conti si tratta di andare a 1 m/sec e arriverà all'obiettivo in un secondo :lol: .
Ma la velocità necessaria al verme cala abbastanza rapidamente col procedere dei secondi a disposizione, fino ad arrivare ad un minimo asintotico.
Questo secondo la formula
v= (1- 1/F) / (1-1/F^n)
dove
v=velocità del verme
F=fattore di allungamento (discreto, nel nostro caso 1.1)
n=numero di secondi
Se abbiamo a disposizione tempi infiniti al verme immortale basterà superare di poco il valore 1 - 1/F=0.090909...m/s per raggiungere l'estremità...
Controconfermo frapao :D