Il quadrato opaco (soluzione, forse)

[Elle]

Ci vuole un po' di fantasia  :roll:      ... ma si capisce lo stesso  :wink:

[alois]

Ci vuole un po' di fantasia  :roll:      ... ma si capisce lo stesso  :wink:

Così?


Credo (non ne sono sicuro, però) che il muro proposto da moebius sia migliore di questo...

Alois

[moebius]

avrei un 2,69*L

però è un pò difficile da spiegare..

cerchio di raggio L con centro in un vertice del quadrato (1,57L)
mezza diagonale dal centro del cerchio (0,71L)
pezzettino di diagonale dal vertice opposto (0,41L)

Ecco qui



Si può "limare" ancora un po'...

Alois

è del tutto evidente che se elimino il quarto di cerchio, architettonicamente molto più interessante, ma matematicamente "idiota" e sostituisco due rette che uniscono i vertici del quadrato con il pezzettino di diagonale ottengo 2,66*L

però ci devo pensare ancora un pò...

alois...buon natale  :evil:

[moebius]

e trasformando il pezzettino in un quarto di diagonale ottengo

0.71L+(2*0.79)L+0.35L=2.64L

[alois]

e trasformando il pezzettino in un quarto di diagonale ottengo

0.71L+(2*0.79)L+0.35L=2.64L

Eh, stai convergendo verso la soluzione, che è la risposta a questa domanda: se il campo fosse triangolare, quale sarebbe il muro più corto?

Alois

[moebius]

resta il mio problema di base.
obbligatoriamente avrò quattro segmenti, di retta o di cerchio, che partiranno dai 4 vertici.
nessuna soluzione esiste se non con un muro che tocca i 4 vertici...o no?

[moebius]

data quindi per accertata la mezza diagonale
devo trovare i tre segmenti che ottimizzano la sol sul triangolo...  

[alois]

Ed allora... ecco la soluzione



Come si diceva, è una mezza diagonale, più il cosidetto "albero di Steiner" del triangolo: il muro più corto, appunto. È da notare che i tre rami del muro si intersecano formando angoli da 120 gradi, come nel caso della soluzione proposta da Elle (che è l'albero di Steiner nel quadrato).
È questa la soluzione "migliore"? Tra tutte quelle fatte da due muri "separati", sì. Se esistano soluzioni migliori con più di due muri, non si sa: si congettura solo che quella con due sia ottimale tra tutte...

Che c'entrava Sherlock Holmes? In uno dei suoi racconti, deve individuare rapidamente un canale sotterraneo che attraversa un terreno (diciamo circolare): dovendo scavare, quale è lo scavo "più breve" che gli garantisce di incrociare il tunnel? Scavare tutt'intorno non conviene, perché potrebbe scavare mezzo cerchio e poi due segmenti lunghi come il raggio, in modo da formare una "U"...

Alois