Il verme lubrico

[ub]

Abbiamo una barra di gomma lunga un metro. Su questa barra, al punto zero, c'è un verme immortale. Al tempo zero, il verme comincia a muoversi verso l'altra estremità alla velocità costante di 1 cm/s. Quindi, ogni secondo la barra si allungherà del 10 % in modo uniforme.

Ossia (tempo in secondi, lunghezze in metri): T=0, lunghezza 1, percorso 0. T=1, lunghezza 1,1, percorso 0,011, eccetera

Prima domanda (facilotta) : Riuscirà il verme a raggiungere la fine della barra?

Seconda domanda (difficilotta) : Quanto tempo ci metterà?

Se interessa, questo era una trentina di anni fa su Scientific American. Non bastano somme e sottrazioni!

Poi... la risposta alla prima domanda me la ricordo, la seconda va ricalcolata. Lasciatemi un po' di tempo...

[naacal]

Notevole, ub!
Purtroppo non ho dimestichezza con Excel, perche' penso sarebbe di grande aiuto. Vedro' cosa posso fare a mano....  :roll:

[ub]

Mmmm, non credo che excel possa farcela... ti puo far vedere un trend...

[groware]

Se non sono 'scollegato' e se l'esposto è giusto, nel senso che il verme procede nel verso in cui si allunga la barra e questa lo fa, in pari tempo, di una misura che è comunque almeno 10 volte superiore a quella percorsa dal verme, la risposta alla prima domanda è NO  :roll:
Infatti ogni secondo che passa si troverà davanti un percorso da fare sempre maggiore di quanto ne aveva prima.

[naacal]

Anche a me un calcolo relativo ai primi 10 secondi indica che il verme, con il passare del tempo, si "allontana" sempre di piu' dal traguardo, quindi pare che la risposta sia no.....

[ermengarda]

ho come la sensazione che ci sia di mezzo qualche paradosso legato all'infinito...(temporale e spaziale...)



ergo..chiamate in infinitologo...io mi defilo... :lol:

[groware]

ho come la sensazione che ci sia di mezzo qualche paradosso legato all'infinito...(temporale e spaziale...)



ergo..chiamate in infinitologo...io mi defilo... :lol:

Probabile.. il concetto di infinito è unico, sebbene si usi definire, in matematica, un meno infinito ed un più infinito..

In questo caso il verme e la barra tendono ad infinito sullo stesso verso e se proprio dobbiamo dire che si incontrano, visto che non si possono considerare tendenti a DUE diversi infiniti, si incontreranno.. all'infinito  :lol:

[ub]

Aiutino sulla prima domanda :

Ammesso che ci riesca, il verme deve arrivare solo a metà, perchè poi la strada è in discesa, in quanto si allunga più dietro che davanti.

Provate a trovare l'espressione generale della posizione del verme...

[naacal]

mah, io ho ragionato cosi'. All'inizio il verme ha da percorrere 100 cm.
Dopo 1 sec. ne ha da percorrere 108,9
Dopo 2 sec. ne ha da percorrere 118,69
Dopo 3 sec. ne ha da percorrere 129,459
Dopo 4 sec. ne ha da percorrere 141,3049
Dopo 5 sec. ne ha da percorrere 154,29439

La distanza rimanente, come si puo' vedere, aumenta progressivamente al passare dei secondi. Il trend indica che la distanza tra verme e fine del percorso aumenta progressivamente all'aumentare dei secondi, per cui, se la matematica non e' un'opinione, ilverme non raggiungera' mai il traguardo.

Ub, sicuro che il problema non dica che il verme si muove di 10 cm alla volta?

[ub]

mah, io ho ragionato cosi'. All'inizio il verme ha da percorrere 100 cm.
Dopo 1 sec. ne ha da percorrere 108,9
Dopo 2 sec. ne ha da percorrere 118,69
Dopo 3 sec. ne ha da percorrere 129,459
Dopo 4 sec. ne ha da percorrere 141,3049
Dopo 5 sec. ne ha da percorrere 154,29439

Eh, no. si allunga uniformemente davanti e dietro, quindi sara rispettivamente
100
108,9
118,58
129,107
140,5536
eccetera. Piccola differenza. Consiglio : generalizza, se scrivi l'espressione diventa chiaro, almeno la prima parte.

[naacal]

Eh, no. si allunga uniformemente davanti e dietro, quindi sara rispettivamente
100
108,9
118,58
129,107
140,5536
eccetera. Piccola differenza. Consiglio : generalizza, se scrivi l'espressione diventa chiaro, almeno la prima parte.

Eh no lo dico io, ub, scusa..  :wink:
Dopo 1 secondo, come tu hai detto all'inizio, la lunghezza della corda e' 1,1 e la distanza percorsa dal verme e' 0,01+(0,01/10)=0,01+0,001=0,011.

Dopo 2 secondi la lunghezza della corda e' 1,1+(1,1/10) = 1,1+0,11 = 1,21
Sempre dopo 2 secondi, il verme percorre un altro centimetro: 0,011+0,01=0,021. Questa distanza, come il resto della corda, si allunga del 10% e diventa pari a: 0,021+(0,021/10) = 0,021+0,0021 = 0,0231

Quindi, dopo 2 secondi, la corda e' lunga 1,21m, il verme si trova a 0,0231m dal punto d'inizio, e la distanza da percorrere e' 1,21-0,0231= 1,1869m, ossia 118,69cm, come avevo scritto io, quindi i calcoli sono giusti.
Anche se il verme avanza di un centimetro per volta, conti alla mano, la sua distanza dal traguardo aumenta, ed in misura sempre maggiore al passare dei secondi.
Quindi, per me la risposta alla prima domanda e' no.

[naacal]

Ho ricontrollato i miei calcoli, e sono esatti, e mentre li controllavo, ho avuto un'intuizione.
Oggi o domani ti dico dopo quanti secondi il verme arriva alla fine....  :wink:

[Anonymous]

[ub]

non è specificata la modalità di allungamento della barra: ovvero, "cresce" semplicemente in lunghezza o si "stira" come un elastico?

Si stiracchia dappertutto.

Allego una risposta a naacal :

Questo è vero, scusa, avevo sbagliato il conto. Però se generalizzi :
Lunghezza dietro dopo :

1 secondo : 0,01 * 1,1
2 secondi : (0,01 * 1,1 + 0,01) * 1,1 = 0,01 * 1,1^2 + 0,01 * 1,1
3 secondi  : (0,01*1,1^2 + 0,01*1,1 + 0,01)*1,1 = 0,01*1,1^3+0,01*1,1^2+0,01*1,1
eccetera, quindi in genere sarà, dopo n secondi

      t=n            1,1^t
D = somma      --------
      t=1              100

Lunghezza totale, invece  L = 1,1^n
Nota che non dico che arriva o che non arriva, ma viene fuori qualcosa di molto curioso...

[naacal]

La notte ha portato consiglio, ub, e la risposta unica e definitiva e' no, il verme non raggiungera' mai la fine della corda.
Ieri m'era sorto un dubbio, perche' avevo calcolato che dopo 60 secondi il verme si trovava ad aver compiuto una distanza pari a circa il 10% dell'intera corda. Ma mi sono reso conto che cio' e' assolutamente ininfluente. Cosi' come e' ininfluente il fatto che prima o poi il verme si trovera' ad aver compiuto piu' del 50% del percorso, perche' la parte rimanente sara' comunque in continua crescita e troppo lunga da percorrere.
Il problema si puo' raffigurare con una retta AB, sulla quale vi e' un punto V che rappresenta la posizione del verme. Quindi, abbiamo due segmenti AV e VB in continua mutazione con il passare dei secondi.Il verme V cosa fa? "Sottrae" 1cm. al segmento VB per "passarlo" al segmento AV, e contemporaneamente i due segmenti si stirano del 10%. Lo scopo del verme e' arrivare nel punto B. Cio' non avverra' mai: chiamando V1 e V2 le due posizioni del verme a distanza di un secondo l'una dall'altra, per far si' che il verme raggiunga prima o poi il punto B, occorre che la distanza V1-V2 sia maggiore dello stiramento del segmento V2B. All'inizio, per esempio, il verme percorre 1 cm. La parte di corda rimanente, quella da percorrere, allo stesso tempo si stira del 10%. Essendo lunga 99cm, si stirera' di ulteriori 9,9 cm. E questa misura crescera' per sempre: dopo 1 minuto e mezzo, per farti un esempio, il verme sara' a 5313 metri di distanza dalla fine della corda. Poco, anzi nulla, importa che la parte di corda gia' percorsa dal verme cresca ad un ritmo maggiore della parte restante: nel secondo successivo, infatti, il verme percorrera' un altro centimetro, ma la distanza da percorrere si stirera' ulteriormente di piu' di mezzo chilometro.
Il verme, invece, raggiungera' prima o poi la fine della corda nel caso in cui si sposti di 10cm al secondo, come avevo ipotizzato all'inizio del thread. Infatti, con un simile spostamento su una corda di 100cm, dopo un secondo la distanza da percorrere sara' diminuita (condizione essenziale per il raggiungimento del traguardo) e sara' pari a 99cm e andra' via via decrescendo finche il verme non raggiungera' la fine della corda.