Il verme lubrico

[ub]

Confermo, il verme, anche se immortale, non ce la farà mai. Vuoi cercare la curiosità?

[naacal]

Volentieri.... vedo un po' ora cosa trovo, altrimenti ti chiedo lumi in seguito...  

[Wiseman]

Io non trovo la curiosità...

Nel sistema di riferimento definito dal verme al tempo 0, e guardando il moto di due punti (la testa del verme e il traguardo), abbiamo un moto rettilineo uniforme ed un moto uniformemente accelerato con valore iniziale non nullo.
Non solo non si incontrano mai, ma nemmeno convergono asintoticamente...

[ub]

Vedi cosa fa il rapporto tra lunghezza e percorso mancante

[naacal]

Dunque....
L=lunghezza corda
LP=lunghezza percorsa
LR=lunghezza rimanente
n=numero secondi passati

L(n)=1,1^n
LP(n)=[L(n+1)-1,1]/10
LR(n)=L(n)-LP(n)=1,1^n-[L(n+1)-1,1]/10

Il rapporto tra lunghezza e percorso mancante?
L(n)/LR(n)=1,1^n/1,1^n-{[L(n+1)-1,1]/10}=
=1/1-[L(n+1)-1,1]/10(1,1^n)=
=1-10(1,1^n)/[L(n+1)-1,1]=
=L(n+1)-1,1-10(1,1^n)
Aargh! Che sara' mai?

Numericamente parlando, i rapporti lunghezza/distanza rimanente, secondo dopo secondo, sono:
1,010101
1,0194624
1,0281247
1,0361282
1,043513
....
....
1,1231393 (dopo 1 minuto)
1,123569   (dopo 1 minuto e 30 secondi)

Che sara' mai???

[regolo]

sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci

e per estensione al rapporto aureo  

[Rebus70]

sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci

e per estensione al rapporto aureo  

Ormai appare due volte all'anno e, quando lo fa, straparla!
Ciao, Reg. Ben avvistato.

[regolo]

ciao...avvistatore

ormai non ho più ritegno...intervengo solo per sparare c.... :lol:

[cinocina]

sembra convergere alla sequenza dei numeri di Fibonacci

e per estensione al rapporto aureo  

ne approfitto anch'io per salutarti, ciao reg.

(ehm...Fibonacci e il rapporto aureo...   per un attimo mi sei sembrato il conte Mascetti in "amici miei", mi chiedevo se la supercazzola era prematurata come se fosse antani...  :lol:  :lol:)

[bricco]

   

Grande Sentenza!

[Wiseman]

Non mi ricordo una cosa: Achille l'ha poi presa la tartaruga?

[Sentenza]

Provo a dire la mia, sperando di non aver sbagliato i conti...

Sviluppando le solite furmule si ricava che

Codice Seleziona Espandi

                                                         0.11
Rapporto lunghezza percorsa / Lunghezza totale = 0.11 - ---------
                                                         1.1^n


e si vede che per n tendente a infinito il rapporto tende a 0.11
cioè il bruco non percorrerà mai più dell'11% della corda


Diverso sarebbe il caso in cui il bruco vada a 10 cm/s (come suggerito da naacal)
In questo caso infatti la serie converge a 1.1 (che è superiore a 1 ovvero è superiore al 100% della corda e quindi il bruco arriva a destinazione)


Credo che una situazione più interessante si avrebbe se l'allungamento della corda non fosse proporzionale alla lunghezza della corda stessa, ma fosse costante. Per esempio se la corda si allungasse di un metro ogni secondo o anche di un chilometro o anche di un anno luce al secondo, il bruco riuscirebbe comunque ad arrivare al traguardo, anche muovendosi di un solo cm al secondo

[naacal]

Concordo con quanto scritto da Sentenza, ma non su un rapporto tendente a 0,11, in quanto la lunghezza totale aumenta sempre del 10%, ma la lunghezza percorsa, nello stesso tempo, aumenta di un centimetro e del 10%, quindi aumenta in misura sempre maggiore. Pertanto, secondo me, il rapporto lunghezza percorsa/lunghezza totale, col tempo, tende ad 1.

(poi puo' anche essere che mi sbagli, eh....)

[naacal]

Non mi ricordo una cosa: Achille l'ha poi presa la tartaruga?

Si', alla fine l'ha presa, ed e' stato pure dimostrato....

[frapao]

Scusate... ma perché partite dall'assunto che al primo secondo la lunghezza della barra è 1,1 ?
Questo sarebbe vero se la dilatazione fosse discontinua : cioè la barra dovrebbe "aspettare" lo scadere di ogni secondo per dilatarsi. In realtà non è così, in ogni infinitesimo di secondo la barra dovrebbe dilatarsi di un infinitesimo, e la dilatazione totale allo scadere di ogni secondo è la somma di infiniti termini infinitesimi. E questa dilatazione al tempo t=1 è maggiore del semplice 10% in più di lunghezza rispetto a quella del tempo zero.

In poche parole bisogna ricorrere al calcolo integrale.
Sempreché nel problema non ci sia una semplificazione che nell'enunciato non appare (ma questo ce lo dovrebbe dire ub) dovremmo avere :
dL=0,1*L*dt dove
dL=variazione infinitesima della lunghezza (si legge "de elle")
L=lunghezza della barra al tempo t
dt=variazione infinitesima di tempo

Integrando
DL/L=0,1*dt
Abbiamo ln L=0,1*t cioè
L=e^(0,1*t) dove e è la costante di Nepero (2,71...).
In realtà c'è anche un fattore moltiplicativo L0 ("L con zero" che nel nostro caso vale 1)

Questa è la formula dell'allungamento della barretta in funzione del tempo.
Se fate il calcolo al primo secondo il valore è molto vicino a 1,1 (1,1051...) ma dopo un po' di secondi i valori cominciano ad essere abbastanza distanti da quelli che derivano dalla formula L=1,1^t
Cosa fa il verme ?
In queste condizioni non riesco a vedere comportamenti notevoli se non quello che non raggiungerà mai l'estremità.

A meno che il problema non presupponga intervalli discreti per il tempo, intervalli in cui la barretta "sta ferma" e si dilata solo agli estremi dell'intervallo (con un andamento a scalini). Ma allora bisognerebbe specificare se c'è una pre-elongazione o una post-elongazione.
In parole povere : ad ogni secondo si ha prima la dilatazione e poi il verme si muove, oppure la dilatazione avviene dopo ?
Nel primo caso al primo secondo il verme starebbe a 0,01 dalla partenza (la dilatazione quando il verme sta alla posizione zero non ha alcun effetto su di esso).
Nel secondo caso starebbe a 0,01*1,1.
Le cose non cambierebbero poi molto : anche nell'ipotesi di considerare il tempo discreto, l'altra estremità si muove a una velocità irraggiungibile per il povero verme.
Questo si può vedere anche graficamente, con una curva  x=e^(0,1*t) che si trova sempre sopra alla retta x=0,01*t, per qualunque valore di t.

Se poi ho inteso male il problema...ub è pregato di farmelo sapere.