Indovinello IMPOSSIBILE

[Rebus70]

Perdonami, Wise: sarò duro, ma a me sembra solo suggestivo virtuosismo dialettico.

[Wiseman]

Un'altra osservazione: se scelgo una porta e la tengo fino in fondo ho sempre una possibilità su tre di vincere, qualunque cosa faccia il presentatore.

L'ipotesi che non ho fatto, ma che è abbastanza evidente è che il premio non viene spostato durante il gioco...
Il quiz è onesto....

[Wiseman]

Perdonami, Wise: sarò duro, ma a me sembra solo suggestivo virtuosismo dialettico.

Allora provo in un altro modo:

Io scelgo sempre A e cambio sempre la porta.
Tu scegli sempre C e non cambi mai la porta.

Abbiamo deciso le strategie.

A questo punto viene preparato il campo di gioco. Esistono solo tre possibilità:

La porta vincente è la A, la B o la C.

Se la vincente è A, il presentatore apre B o C: io perdo e tu perdi (0-0)
Se la vincente è B, il presentatore apre C: io vinco e tu perdi (1-0)
Se la vincente è C, il presentatore apre B: io vinco e tu vinci (2-1)

Non esistono altre possibilità: il premio c'è sempre ed è sempre dietro una delle tre porte!

In termini matematici:

Codice Seleziona Espandi

la probabilità di vittoria, data la strategia, può essere calcolata come una probabilità condizionata. In pratica si applica il teorema di Bayes, utilizzando la regola degli eventi condizionati:

Chiamiamo P[A] la probabilità che vinca A, P[B] e P[C] gli analoghi.
Detta P[X] la probabilità che io scelga la porta A e cambi, la probabilità di vittoria è:

P[V] = P[B|X] + P[C|X] = 1 - P[A|X]

Per il teorema di Bayes:

P[A|X] = P[X|A] *P[A] / (P[X|A]*P[A] + P[X|B]*P[B] + P[X|C]*P[C])

Ma io scelgo sempre A e cambio sempre porta, quindi P[X] = 1.
Sapendo anche che P[A] = P[B] = P[C] = 1/3 e sostituendo:

P[A|X] = 1*1/3 / (1/3 + 1/3 + 1/3) = 1/3

Quindi la probabilità di vittoria, dato l'evento "scelgo A e cambio porta" con probabilità 1 è:

1 -1/3 = 2/3

c.v.d.
Il fulcro della dimostrazione matematica è proprio quel P[X] = 1, che corrisponde alla frase della prima domanda che ho postato "io sono in grado di giocare con il 66,6% di probabilità di vittoria".
E' proprio questo. Il mio comportamento "scelgo sempre A e cambio sempre porta" mi permette di porre P[X] = 1, visto che è una variabile che descrive il mio comportamento, che non è affatto casuale.

[Rebus70]

Una volta lessi un interessante articolo di un matematico che riuscì a dimostrare che 2+2 non faceva 4... :roll:

Il fatto che tu cambi la porta dopo l'apertura della terza non ti varia la percentuale di probabilità, che resta sempre del 50%: percentuale che si è assestata su tale valore all'atto stesso dell'apertura della terza porta (hai voglia a sfiatarti: prima, per me, era sempre soltanto del 33,3%!!! ).

[Wiseman]

Una volta lessi un interessante articolo di un matematico che riuscì a dimostrare che 2+2 non faceva 4... :roll:

Il fatto che tu cambi la porta dopo l'apertura della terza non ti varia la percentuale di probabilità, che resta sempre del 50%: percentuale che si è assestata su tale valore all'atto stesso dell'apertura della terza porta (hai voglia a sfiatarti: prima, per me, era sempre soltanto del 33,3%!!! ).

Reb, le porte sono 3. Da dove viene mai il 50%?
Il premio può essere dietro una qualsiasi delle tre porte!

La probabilità di vittoria può essere solo 0, 1/3, 2/3, o 3/3.
Non riesco ad immaginare nulla che possa portare a pensare che i casi sono 2 (o 4, o un qualunque numero pari....).

L'azione del presentatore non può cambiare il numero di casi, che sono sempre e solo tre. Infatti lui apre una porta DOPO che il premio è stato infilato!

Sei d'accordo con me nel dire che se non cambi porta, qualunque cosa faccia il presentatore la tua probabilità è 1/3, vero?

Allora leggi bene lo svolgimento del gioco:

0. Prima che arrivi il concorrente ogni porta ha il 33% di probabilità di essere vincente (il tecnico di studio piazza il prmio a caso)
1. Il concorrente sceglie una porta su tre chiuse che ne ha davanti e ha il 33% di probabilità di avere scelto la vincente.
2. Il presentatore dice che una delle altre due porte è sicuramente perdente (attenzione: a questo punto le porte sono sempre tre, quello che ci stanno dicendo è che una delle tre è sicuramente perdente, ma questo lo sapevamo).
3. Il presentatore chiede al concorrente se vuole cambiare porta, anche sapendo che una delle altre due perde (ma questo lo sappiamo sempre: il premio è uno e tra due porte una deve essere per forza perdente).
4. Il concorrente cambia porta (le porte sono sempre tre, di cui una sicuramente perdente e una sicuramente vincente).
5. Il concorrente perde solo se la porta vincente era quella che ha scelto all'inizio, perchè qualunque sia la vincente delle altre due, lui la sceglie cambiando. Infatti il presentatore impedisce al concorrente che cambia porta di scegliere la perdente.
4bis. Il concorrente non cambia porta
5bis. Il concorrente vince solo se all'inizio ha scelto la porta vincente (1 possibilità su 3)

Quindi, il concorrente che cambia porta perde solo se ha scelto per prima la porta vincente. Quindi ha una possibilità su tre di perdere e due di vincere.

Altro trick shot: l'apertura della porta non diminuisce il numero delle porte stesse, che sono sempre tre. E in più l'apertura della porta non dà nessuna informazione!

Ultimo tentativo:
Ci sono tre porte chiuse, una vincente e due perdenti. Tu puoi scommettere su due eventi: "La A vince" o "La A perde". Su quale scommetteresti?

[Wiseman]

Per convincere un mio collega che era sulla stessa posizione di Rebus ho impiegato due mesi....
Ma ce l'ho fatta
(anche perchè la risposta è esatta!)

[Rebus70]

Vedi dov'è l'equivoco di fondo? Le porte non sono più tre dal momento in cui ne viene aperta una!!!

[Wiseman]

Vedi dov'è l'equivoco di fondo? Le porte non sono più tre dal momento in cui ne viene aperta una!!!

Eh, no!
Le porte sono sempre tre!

Se tu chiudi gli occhi e non guardi quale viene aperta, per te sono sempre tre!

Quando viene piazzato il premio in modo casuale, le porte sono tre e ognuna ha il 33% di probabilità di ricevere il premio.
Il presentatore non apre una porta a caso! E nemmeno la cancella dalla faccia della terra! Apre una porta che è sicuramente perdente (e lui lo sa).
In qualunque momento del gioco sai che una delle tre porte è perdente!!!!

Se la porta fosse aperta PRIMA che tu ne scelga una, allora sì. Ma tu hai già fatto una scelta, quindi piloti il comportamento del presentatore che non apre nè la porta che hai scelto tu, nè la porta vincente ma un'altra. Le porte continuano ad essere tre.

Il numero delle porte non diminuisce perchè io ho deciso di cambiare la mia scelta PRIMA ANCORA CHE IL GIOCO COMINCI!
E non mi interessa sapere quale sia la porta che il presentatore apre, perchè qualunque sia delle due che non ho scelto all'inizio, vinco comunque.
Io gioco avendo già deciso a priori che cambierò porta. Quindi perdo solo se il tecnico di studio ha messo il premio nella prima porta che ho scelto, cioè ho 1 possibilità su 3 di perdere, quindi 2 su 3 di vincere.

Infatti, se gioco io, scelgo la A e cambio.
Quindi, se il tecnico ha scelto B vinco e se il tecnico ha scelto C vinco, e se il tecnico ha scelto A perdo. Indipendentemente da quello che ha fatto il presentatore nel frattempo. Io non lo guardo neanche.

[Rebus70]

Vabbè, Wise: partiamo da postulati differenti.
E' chiaro che se accettassi il tuo punto di vista, condividerei la teoria...
Ma resto dell'idea che, una volta aperta una delle tre porte, essa venga automaticamente esclusa dalla prosecuzione del gioco, restando solo l'incognita tra le due rimanenti.

[Wiseman]

E gli altri cosa dicono?

[merlino]

E gli altri cosa dicono?

Beh, io sono di parte. :wink:

ma sottolineo che ho due possibilità su tre di scegliere in prima istanza la porta sbagliata, ed è ciò che avviene decidendo di cambiare sempre la propria scelta iniziale.

(Wise, se tu avessi postato insieme al problema anche la spiagazione matematica avrei rinunciato subito. )

[naacal]

Mi sa che nel problema originale il premio in palio era un'auto oppure una capra.... Dunque, questo e' quello che ho trovato:

Cambiare porta aumenta le probabilità di vincere l'auto.
La spiegazione più semplice di questo fatto controintuitivo è la seguente:

1) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte?" preferiremmo certamente cambiare.
2) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte (ma in questo caso mi devi rendere una capra)?" preferiremmo ancora cambiare: infatti ci rimettiamo una capra che comunque non volevamo, e siamo sicuri di poterla rendere perché ne vinceremo una o due.
3) Se il conduttore dicesse sempre "Preferisci tenere la porta scelta o cambiare con tutte e due le altre porte (ma in questo caso mi devi rendere questa capra che ora ti faccio vedere)?" preferiremmo ancora cambiare: la situazione è identica a prima, se non per il fatto di aver visto la capra da rendere.
L'ultima situazione presentata è equivalente alla domanda posta nel problema, il che significa che conviene cambiare la porta.

Nota 1: In un recente quiz televisivo, "Chi vuol esser milionario?", si presenta spesso una situazione simile a quella del problema. Il concorrente, infatti, sceglie una risposta tra quattro, e chiede che il computer ne elimini due tra le sbagliate. Restano, dunque, la risposta scelta più un'altra. Se la prima risposta è stata scelta a caso, allora conviene cambiare. Dal momento, però, che tale risposta è spesso meditata, la considerazione probabilistica non è applicabile.

Nota 2: Poiché molti non si convincono della soluzione proposta, qui di seguito sono presentate diverse spiegazioni a cura di GianPiero Puccioni:

Come convincere gli inconvincibili

1

Subito dopo la tua scelta iniziale si generano due gruppi di porte:

Gruppo A: la porta che hai scelto
Gruppo B: le altre due porte

probabilita' di vincita (presenza auto) per A: 1/3
probabilita' di vincita (presenza auto) per B: 2/3

A questo punto il presentatore compie un' operazione sul gruppo B, e SOLO sul gruppo B, il gruppo A non entra in gioco, cioe' apre una porta che lui sa contenere la capra, provocando cosi' il "collasso" delle probabilita' sulla porta rimanente DEL GRUPPO B che ha questo punto ha probabilita' 2/3 di nascondere un auto.

Cambiare conviene.

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2

Poniamo che le tre porte siano A, B e C. E hai scelto A
Ci sono queste tre possibilita'.

a) Auto dietro C - Presentatore apre B - Cambiare conviene - Prob 1/3
b) Auto dietro B - Presentatore apre C - Cambiare conviene - Prob 1/3
c) Auto dietro A - Presentatore apre B - Restare conviene - Prob 1/6
d) Auto dietro A - Presentatore apre C - Restare conviene - Prob 1/6

L'errore comune e' di assegnare alle quattro possibilita' uguale probabilita'(1/4), il che e' sbagliato dato se cosi' fosse si avrebbe che nel 50% dei casi l'auto era dietro A (proprio la porta scelta!) e questo equivarrebbe a dire che all'inizio avevo una probabilita' del 50% di scegliere la porta giusta. In effetti i casi c) e d) sono solo due sottocasi del caso in cui l'auto sia dietro A (con prob 1/3) che differiscono solo per il fatto (totalmente ininfluente) che il presentatore fa vedere una capra piuttosto che un'altra. Si potrebbe riscrivere il tutto come:

a) Auto dietro C - Presentatore apre B - Cambiare conviene - Prob 1/3
b) Auto dietro B - Presentatore apre C - Cambiare conviene - Prob 1/3
c) Auto dietro A - Presentatore apre B o C - Restare conviene - Prob 1/3

Cambiare conviene.

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3

Se hai già deciso di non cambiare la tua scelta, che differenza può fare che il conduttore faccia vedere la capra e chieda di cambiare? Potresti anche guardare subito cosa hai vinto. A parte cambiare quello che c'è dietro la tua porta (e questo NON è permesso dalle regole) come fa la tua probabilità di vincere ad aumentare solo perchè dopo la tua scelta succede qualcosa che non ha nessuna influenza sulla scelta?

Se fai questo gioco 100 volte e guardi subito dietro la porta poi il conduttore fa vedere la capra, ti aspetti di vincere piu' o meno 33 volte o 50 volte? Se avessi guardato dopo che il conduttore ha fatto vedere la capra ti aspetti di che sia diverso? Come e' possibile se la scelta era la stessa, non e' certo cambiato quelle che c'era dietro la porta.

Cambiare conviene.

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4

Prova a fare questo semplice esperimento. Prendi tre carte, un asso (l'auto), due carte a caso (le capre) ed un dado.
Mescola le carte e disponile scoperte da sinistra a destra e chiamale rispettivamente 1, 2 e 3. Lancia il dado ed il risultato modulo 3 sara' la porta scelta dal partecipante. Appoggia il dado sulla carta relativa.
Elimina una delle due restanti carte con la regola che non sia mai l'asso. Scrivi su di un foglio "Cambio" se avresti vinto l'auto cambiando la scelta rispetto al dado oppure "Lascio" se l' avresti vinta mantenendo la prima scelta.
Ripeti una ventina di volte e guarda quanti "Cambio" e quanti "Lascio" hai scritto.

Prevedo un tuo cambiamento di opinione, che potrebbe essere anche piu' rapido se realizzi che se hai posato il dado sull'asso (una volta su tre) vinci lasciando e se lo hai posato su di una carta a caso (due volte su tre) vinci cambiando, e quindi ti risparmi tutto il resto.

Cambiare conviene.

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5

Consideriamo tutti i casi possibili:


Porta 1 Porta 2 Porta 3
1 A C1 C2
2 A C2 C1
3 C1 A C2
4 C2 A C1
5 C1 C2 A
6 C2 C1 A


A rappresenta l'auto
C1 e C2 sono le capre

A questo punto per evitare la casualità della apertura della porta da parte del presentatore aggiungiamo una regoletta:

"il presentatore apre sempre la porta con C1, a meno che non sia quella scelta dal giocatore nel qual caso apre C2" (il giocatore ovviamente non sa quale delle capre è C1 e quale C2, sono indistinguibili per lui).

Vediamo quando si vince cambiando scegliendo le varie porte:

se si sceglie P1 si vince nei casi 3,4,5,6
se si sceglie P2 si vince nei casi 1,2,5,6
se si sceglie P3 si vince nei casi 1,2,3,4

per un totale di 12 su 18 (6 casi x 3 possibili scelte) cioe' 2/3.
Si può notare che sono tutti casi in cui la regoletta NON era necessaria in quanto forzati dal fatto che il giocatore aveva scelto una capra al primo colpo, quindi non possono essere modificati dal fatto che la scelta del presentatore non era casuale. Al massimo l'introduzione della regoletta di cui sopra potrebbe modificare i restanti 6 casi (in cui cambiando si perde) ma anche se fosse (e non è) di sicuro la probabilità di vincere cambiando non puo' essere meno di 2/3. Quindi anche se la scelta del presentatore rimane casuale non cambia niente, dopotutto l'unico effetto che ha è che se non trovo l'auto trovo sempre C2.

Cambiare conviene.

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6

Se il gioco fosse di trovare l'asso di quadri in un mazzo di 52 carte ed il giocatore A ne pescasse una a caso senza guardare e dopo il giocatore B invece potesse guardarle e scartarle tutte tranne una, chi avrebbe la maggiore probabilita' di avere l'asso? Ovviamente B dato che perderebbe solo nell'unico caso in cui A pesca l'asso. E quindi A avrebbe 1/52 probabilità e B le restanti 51/52. E se le carte fossero solo 10 ? Allora A avrebbe 1/10 e B 9/10, dato che, di nuovo, tranne in quel caso su 10 in cui A pesca l' asso di sicuro vincerà B. E se le carte fossero 3 ? Nessun problema: A 1/3 e B 2/3 per le stesse ragioni. E questa è la stessa situazione delle 3 porte con A nella parte del giocatore e B in quella del presentatore.

Cambiare conviene.

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7

Il giocatore ha in effetti due scelte da fare:

Strategia: cambiare o non cambiare
Porta: 1, 2 o 3

Fatte queste due scelte non esiste più probabilità o altro: l'esito è determinato da dove era il premio all'inizio, il presentatore NON ha alcuna scelta sull'esito del gioco, il suo ruolo è puramente meccanico. L'unica cosa che conta e se la porta scelta la prima volta era quella con l'auto o no.

Se il giocatore sceglie di cambiare ed ha scelto la porta con la capra (2 probabilità su 3) ha vinto, fine del gioco. Il presentatore DEVE obbligatoriamente aprire una data porta (quella non scelta con la capra) e lasciare al giocatore la porta con l'auto che il giocatore otterrà cambiando. Se il giocatore invece ha scelto la porta con l'auto (1 su 3) ha perso, dato che il presentatore avendo due porte con capre DEVE lasciare al giocatore la porta con una delle capre.

Se la strategia era non cambiare allora tutto il resto è perfettamente inutile dato che la porta che hai scelto è quello che ottieni qualsiasi cosa faccia il presentatore, la volta su 3 che scegli l'auto vinci le altre 2 volte perdi.

Cambiare conviene.

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8
Su un'isola ci sono due tribù, quella dei bugiardi e quella degli onesti. Vicino c'è un'altra isola anche questa con due tribù i Testardi (che non cambiano mai idea) ed i Volubili (che appena possono cambiano idea).

Il nostro gioco è stato organizzato con 300 concorrenti per ogni tribù, e, dato che i concorrenti non vedevano cosa succedeva al concorrente precedente e che non potevano parlare con che doveva ancora fare il gioco, è stato deciso di mettere il premio dietro la porta 1 e di lasciarlo sempre lì.
Cosa è successo?

Tribu' dei Testardi

100 scelgono la porta 1, 100 la porta 2 e 100 la porta 3 ed ovviamente non cambiano idea dopo che il presentatore ha aperto una porta. Risultato: vincono solamente i 100 che avevano scelto la porta 1.

Tribu' dei Volubili

100 scelgono la porta 1, 100 la porta 2 e 100 la porta 3 ed ovviamente cambiano idea dopo che il presentatore ha aperto una porta. Risultato: perdono solamente i 100 che avevano scelto la porta 1 mentre quelli che avevano scelto la porta 2 (o 3) cambieranno alla porta 1 ( e vinceranno) quando il presentatore aprira' la porta 3 (o 2).

Testardi 100/300 vincite
Volubili 200/300 vincite

Cambiare conviene.


Tutto cio' dovrebbe chiarire il tutto. E' tutto logico, ma nessuno riuscira' mai a togliermi dalla testa che dopo aver aperto la prima porta, ne rimangono due, e le possibilita' sono 50 e 50. Una volta che rimangono due porte, secondo me cambiare o non cambiare e' indifferente perche' il premio e' dietro UNA delle due porte, noi non sappiamo qual e', e le probabilita' DEVONO essere 50 e 50. In quel momento abbiamo due porte davanti a noi, sappiamo che il premio e' dietro una delle due, sappiamo che possiamo confermare una o scegliere l'altra. Le possibilita' sono 2, quindi 50 e 50. E di qui non mi schioda nessuno.

[Rebus70]

.....ma nessuno riuscira' mai a togliermi dalla testa che dopo aver aperto la prima porta, ne rimangono due, e le possibilita' sono 50 e 50. Una volta che rimangono due porte, secondo me cambiare o non cambiare e' indifferente perche' il premio e' dietro UNA delle due porte, noi non sappiamo qual e', e le probabilita' DEVONO essere 50 e 50. In quel momento abbiamo due porte davanti a noi, sappiamo che il premio e' dietro una delle due, sappiamo che possiamo confermare una o scegliere l'altra. Le possibilita' sono 2, quindi 50 e 50. E di qui non mi schioda nessuno.

Santo Naacal!
Temevo di restare solo a meditare sul mio infimo q.i. (nemmeno degno di dialogare con Einstein della Juve)...

[uomoelettrico]

Vabbè, Wise: partiamo da postulati differenti.
E' chiaro che se accettassi il tuo punto di vista, condividerei la teoria...

Non è il punto di vista di Wise... è una posizione matematicamente dimostrata da quella formula rigorosissima che sfido chiunque a capire! :lol:
Scherzo, ovviamente la formula è corretta (l'ho vista da qualche parte tempo fa...) anche se molto ostica!

Ma resto dell'idea che, una volta aperta una delle tre porte, essa venga automaticamente esclusa dalla prosecuzione del gioco, restando solo l'incognita tra le due rimanenti.

E' vero che la porta aperta viene esclusa dalla prosecuzione del gioco; infatti, se una volta aperta la porta si facesse entrare un secondo concorrente, che non ha visto la parte iniziale del gioco, e gli si chiedesse di scegliere una delle porte rimaste, le sue probabilità di vittoria sarebbero del 50%.
Il fatto è che la porta NON è scelta a caso tra le tre: la scelta da parte del presentatore della porta da aprire dipende dalla scelta iniziale del concorrente.


Mettiamola anche sulla legge dei grandi numeri (applicazione empirica della probabilità, ma rende l'idea!)

Io e te giochiamo insieme, e tu decidi la prima porta.
Su 3000 scelte, quante volte vincerai? 1000.
A questo punto il conduttore apre una delle altre due porte e chiede a me se puntare sulla stessa tua porta o se cambiare; io decido SEMPRE di cambiare, e passare quindi all'unica porta residua. Essendo rimaste solo due porte, o vinci tu o vinco io. Poiché per te non è cambiato niente, tu vincerai comunque 1000 volte, e di conseguenza io vincerò per le restanti 2000.

Se vuoi, possiamo giocare a soldi... il modo migliore per convincere la gente è quello!!

[Rebus70]